物理学B　力学入門

1 ：agent◆bGmJzgr3/6 ： 2008/04/15(火) 19:55:13 ID:9Um07ZBU

物理学B　力学入門

[1] mixi copy - 2006/10/01 15:42 No.678
678.txt - (2 KB)
2006年前期　木曜２限
問題作成：矢口　泰明
ttp://www.students.chiba-u.ac.jp/syllabus/G/2006G7322302.htm
ttp://mixi.jp/view_bbs.pl?id=9093424&comm_id=1166194
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S1.計算せよ
(1)カF=8ex-5ey-4ez、変位s=2ex-4ey+4ezとする。仕事Wはいくらか。
(2)質点の位置r=3ex+5ey-4ez、運動量p=-6ex+5ey+2ezとする。角運動量を求めよ。
(3)保存力　F=kr^n　(n:整数、k:定数)とする。r=0を基準点として、ポテンシャルU(r)を求めよ。

S2.初速25m/秒で、地面と45度をなして質点を地表から投げた。最高点の高度と到達距離を求めよ。空気抵抗は考えず、重力加速度を9.8m/秒秒とし、小数点以下第2位を四捨五入せよ。
(zx平面で運動を記述する。鉛直方向をz軸とし、z=0を地表面とする)

S3.ポテンシャル場U(x)=kx^2　(k>0)内を、力学的全エネルギーE>0の質点mが運動している。
(l)運動範囲を求めよ。
(2)速度が最高になるのはどの点で、どれ程か。なぜその点か。
(3)質点の受けるカを求めよ。(大きさ、向き)
(4)ポテンシャルの概形を描いて(1)-(3)を確認せよ。

S4.惑星の力学的全エネルギーをEとする。
(1)太陽(質量M)から万有引力を受ける惑星(質量m)の運動方程式を、太陽を原点とする極座標を使って表せ。(r成分、θ成分に分ける)
(2)力学的全エネルギーの保存則を極座標を使って書け。
(3)惑星の運動を円運動(r=ro一定)で近似する。全エネルギーEが負になる事を示せ。

但し、dr/dtベクトル=dr/dt*ex+r*dθ/dt*eθ
d^2r/dt^2ベクトル=(d^2r/dt^2-r*dθ/dt)er+(r*d^2θ/dt^2+2*dr/dt*dθ/dt)eθ
万有引力F=-(GMm/r^2)er　G:万有引力定数である。
又、基準点を∞とする。

注意:断り無く使っている記号は、授業中に説明した物理量を表してぃる。

2 ：agent◆bGmJzgr3/6 ： 2008/04/15(火) 19:55:37 ID:9Um07ZBU

解答
S1
(1)W=8*2+(-5)*(-4)+(-4)*4=20
(2)L=(5*2-(-4)*5)ex+((-4)*(-6)-3*2)ey+(3*5-5*(-6))ez
　=30ex+18ey+45ez
(3)U=-∫kr^ndr(0からrまで積分)=-kr^(n+1)/n+1

S2
公式は運動方程式を積分してもとめる。
初速度をvo、角度をa、最高点にきたときの時間をt、その高さをhとすると
0^2-(vosina)^2=-2gh
⇒h=vo^2/4g=625/39.2≒15.9
また
0=vosina-gt
⇒t=vosina/g
地面に達する時間は、tの二倍なので、その時間は
2vosina/g
水平方向の移動距離xは
x=vocosa*2vosina/g=2vo^2sinacosa/g=vo^2*sin2a/g=vo^2/g
=625/9.8≒63.8

S3
(1)力学的エネルギー保存則より
1/2*mv^2+kx^2=E
⇒1/2mv^2=E-kx^2…
1/2mv^2>0より、
E>kx^2
⇒x<±√E/k
(2)式より、ポテンシャルが最小のとき、速度が最大になる。
　それは、x=0のときで、そのときの速さは
1/2*mv^2=E
⇒v=±√2E/m
(3)F=-d(kx^2)/dx=-2kx
本来は偏微分で求めるものだが、今回はx成分しかないので、普通に微分した。
(4)略

3 ：agent◆bGmJzgr3/6 ： 2008/04/15(火) 19:55:42 ID:9Um07ZBU

S4
(1)与えられた条件より、
r方向：-GMm/r^2=m(d^2r/dt^2-r*dθ/dt)
θ方向：0=m(r*d^2θ/dt^2+2*dr/dt*dθ/dt)
(2)
U=-∫(-GMm/r^2)dr（rから∞まで積分）=-GMm/r
v^2=(dr/dt)^2（ここベクトル）=(dr/dt)^2+(r+dθ/dt)^2
以上より、エネルギー保存則は
1/2*m*((dr/dt)^2+(r+dθ/dt)^2)-GMm/r=E
(3)
円運動において、角速度w(=dθ/dt)で周期Tの間回したとき、一周、すなわち2π回ることになる。
よって、
w=2π/T
また、速度vは
v=2πr/Tと表せるため、
v=rw
⇒w=v/r
また、rが一定なので、d^2r/dt^2=0
よって、加速度aは
a=-rw^2=-v^2/r
これを用いて、運動方程式を書くと
-mv^2/r=-GMm/r^2
⇒v^2=GM/r
エネルギー保存則に代入して
1/2*m*GM/r-GMm/r=E
⇒E=-GMm/2r<0

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